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La Distribución de Irwin-Hall

 

 

Lic. Raúl Delgado Álvarez
dea5@hotmail.com

 

 

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1. Introducción

Una manera de entender, por qué el teorema de límite central tiene una importancia gravitante en el estudio de la Estadística, es observar el comportamiento de la suma de variables aleatorias independientes.

Es así que una distribución nada acampanada como es la distribución uniforme nos permite observar la rápida convergencia de la suma de variables aleatorias hacia la distribución Normal en forma muy didáctica en base a los gráficos de las sumas de variables aleatorias independientes con distribución Uniforme.

En este trabajo primero observamos la distribución de la suma de dos variables aleatorias distribuidas uniformemente y se construye su gráfico, posteriormente se estudia la distribución de la suma de tres variables aleatorias independientes con distribución uniforme, de esta manera la distribución de Irwin-Hall se constituye en una generalización del problema citado y por último se construye un programa para la suma de un número finito de variables aleatorias con distribución uniforme.

Problema. Sean x y y variables aleatorias independientes, cada una con distribución uniforme en el intervalo (0,1). Hallar la distribución de z = x + y.

Solución. Si

Siendo x ey independientes la densidad conjunta será:

definida en el cuadrado.
Sea z = x + y y la variable aleatoria auxiliar w = y

Es decir k(z,w) se define en el paralelogramo.

Para hallar la distribución de la suma, se halla la distribución de la marginal

Sea z = x1 +x2 + x3, donde son variables aleatorias independientes cada una con distribución uniforme en el intervalo (0,1). Hallar la función de densidad de z.

Solución. Sea z = (x1 + x2) + x3 y y = x1 + x2 del problema anterior w = x3

Luego

Luego la densidad conjunta de z,H será:

Definida en el paralelogramo:

Para hallar la distribución de z, hallamos la marginal:

2. La distribución de Irwin-Hall

La distribución de Irwin-Hall, llamada así por Joseph Irwin y Phillip Hall, es la distribución que rige el comportamiento la suma de variables aleatorias independientes, cada una con la distribución uniforme estándar. También se conoce como la distribución uniforme suma. También sirve como un buen ejemplo del teorema del límite central, observando la convergencia de esta suma como veremos a continuación.

Sea se distribuye uniformemente en el intervalo (0,1), entonces se distribuye de acuerdo a:

Para evidenciar el comportamiento de Z, se realiza un programa que permite generalizar La distribución de Z, además de mostrar el gráfico resultante para distintos valores de N, para N = 8, se muestra la indicada distribución y su gráfico, obsérvese que prácticamente se comporta como una normal, lo mismo se puede hacer para distintos valores de N.