ARTICULO ORIGINAL

El Proceso de Poisson

 

 

Autor: M.Sc. Nicolás Chávez Quisbert

 

 

---

 

DEFINICIÓN.-

Sea un proceso puntual discreto en el espacio y continuo en el tiempo, se dice que define a un Proceso de Poisson, si ^N(t) representa el número de ocurrencias en el intervalo de tiempo , donde es una tasa promedio de ocurrencias constante por unidad de tiempo.

Y se cumple los siguientes axiomas:

1. Es un proceso de incrementos independientes estacionarios.

2.

3.

4.

5.

Donde:

•     es un incremento en el tiempo infitesimal.

•     es una funcion del tiempo .

Y se cumple las siguientes propiedades:

1.

2. con constante (2)

3.

 

TEOREMA 1

Sea es un Proceso de Poisson de parámetro , para todo par de índices  se cumple la siguiente función probabilística.

 

o en otro caso

Si s=0

o en otro caso

Si s=0 y t =1

 

DEMOSTRACIÓN

Para el caso en particular cuando s = 0 se tiene que:

Por notación  , y aplicando los axiomas definidos en (1), tenemos.

Para :k = 0

Hallando la solución de la ecuación diferencial se tiene que:

 

Aplicando la Función Generadora de Probabilidades¹.

Se tiene que la expresión (6) se convierte en:

Condición inicial t = 0

El lado izquierdo se convierte en:

El lado derecho se convierte en:

De donde se tiene que c1=1, por lo tanto:

o en otro caso

TEOREMA 2

Sea un Proceso de Poisson, de parámetro entonces las siguientes medidas estadísticas y función característica se cumplen:

DEMOSTRACIÓN

a)

b) Hallando el segundo momento alrededor del origen se tiene que:

(10)

De los resultados obtenidos en (9) y (10) se tiene que:

d) Suponiendo s < t

Suponiendo t < s:

(13)

Por lo tanto de los resultados obtenidos en (12) y (13) se tiene que

e) Sustituyendo los resultados obtenidos en (11) y (14)

 

NOTAS

1 La Función Generadora de Probabilidades, es una Función Matemática que permite obtener Modelos Probabilísticos y Momentos de variables aleatorias discretas, se lo denota como G=G(Z)=G(Z.t)

 

BIBLIOGRAFIA

[1] DERNETT RICK, (2010), ESSENTIALS OF STOCHASTIC PROCESSES, SPRINGER, USA.        [ Links ]

[2] KARLIN SAMUEL, TAYLOR HOWARD M. (1974), A FIRST COURSE IN STOCHASTIC PROCESSES, ACADEMIC PRESS, LONDON.        [ Links ]

[3] NARARAN BHAT U. (1984) ELEMENTS OF APPLIED STOCHASTIC PROCESSES, JOHN WILEY& SONS CANADA.        [ Links ]

[4] PARZEN EMANUEL (1972), PROCESOS ESTOCASTICOS, PARANINFO, MADRID.        [ Links ]

[5] V. S. KOROLIUK (1986) MANUAL DE LA TEORIA DE LAS PROBABILIDADES Y ESTADISTICA MATEMATICA, MIR , MOSCU.        [ Links ]