PIZARRA MATEMÁTICA

 

Geometría fractal y compresión de imágenes cf- sfip

 

 

By E. C. Grudner C.

 

 

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Fractal, figura geométrica de estructura compleja y descrita por una superficie finita que tiene perímetro de longitud y número de vértices infinito en cualquier escala. El segmento más pequeño de un fractal representa ser una copia en menor escala de todo el fractal (propiedad de auto semejanza). Desde su teorización en 1890 por Henri Poincaré, pasando por los aportes de célebres matemáticos hasta 1970, estas figuras repetitivas se catalogaban como raras y sin mayor utilidad práctica. La recreación conceptual sobre el estudio de los fractales, fue posible a través de la geometría fractal desarrollada por el matemático polaco-francés Benoît B. Mandelbrot en 1975.

 

Otros tipos de fractales:

Orbitas Caóticas: Fractales muy relacionados con la teoría del Caos, cumplen con el conjunto de ecuaciones de Lorenz describiendo una espiral. El sistema más común del atractor de Lorenz se representa mediante tres ecuaciones diferenciales no lineales: dx/dt = a(y-x). dy/dt = x(b-z)-y, dz/dt = xy-cz. Donde a = 10, b = 28 y c = 8/3.

Aleatorios: Estructuras que dependen del azar (plasma, imágenes de difusión) únicas e irrepetibles. Celulares: autómatas que operan bajo reglas sencillas coloreando zonas a partir del color de otras zonas contiguas.

 

Características que definen una imagen fractal:

1.       Autosimilitud: A diferentes escalas, siempre existen similitudes entre las partes más distantes de la misma figura fractal.

2.       Infinito Detalle: Al ampliar un fractal, se obtienen mayores detalles sin llegar a límites donde aparecen diferencias o bloques.

3.       Dimensión no entera: En contraposición con la geometría clásica, los fractales se diferencian por tener dimensiones fraccionarias.

4.       Las fórmulas y algoritmos que definen imágenes fractales son relativamente simples y se pueden desarrollar a partir de un reducido número de datos.

5.       Algoritmia determinada por secuencias clave iterativas asistidas por computador.

 

La compresión fractal

En 1987 el matemático inglés Michael Barnsley conceptualizó la transformación fractal como un medio para detectar fractales en fotografías digitalizadas. Desarrollo matemático metodológico que culminó con la compresión fractal de imágenes, muy utilizada en multimedia y otras aplicaciones relacionadas con el manejo de imágenes. Barnsley generalizando el método de Hutchinson de semejanzas contractivas, consigue resolver el problema de la compresión de imágenes mediante fractales. La anécdota repara que el primer intento para comprimir una imagen (10000:1), tardó 100 horas en la codificación y alrededor de 30 minutos para la decodificación, además de la guía del proceso por una persona. Posteriormente Barnsley y Alan Sloan efectuaron mejoras en la operatividad del método, culminando en 1992 con el desarrollo del primer algoritmo automático y no rápido propuesto por Arnaud Jacquin, que aplica la transformación fractal en un Sistema de Funciones Iteradas Particionadas (SFIP), sistema que comprime automáticamente la imagen por funciones iteradas. Barnsley y Sloan crearon en 1987IteratedSystems Inc., inscribiendo alrededor de 20 patentes relacionadas con la compresión fractal para comercializar el compresor/descompresor Images Incorporated.

Los métodos de compresión hacen posible que las imágenes en general sean almacenadas en menor espacio sin deteriorar significativamente la información que contienen. Al respecto, Lossless método sin pérdida de información, comprime imágenes en el formato GIF de 3 a 1. Lossy método con pérdida de información, en su formato JPEG; Joint Photographic Expert Group permite una compresión de 25 a 1 sin pérdidas de información sustanciales. La compresión fractal de imágenes pertenece a este último tipo de compresión y es el medio tecnológico actual para tratar imágenes naturales, considerando que las partes de una imagen, por lo general, presentan similitudes con otras partes de la misma imagen. De esta manera, los algoritmos fractales convierten estas partes en datos matemáticos a través de códigos fractales que sirven para almacenar y devolver las imágenes.

 

Sistema de Funciones Iteradas Particionadas SFIP, imágenes binarias

Comenzando con la representación de una imagen binaria, donde la imagen puede ser descrita como un subconjunto de R². Un SFIP es el conjunto de contracciones

De acuerdo con estas funciones, el SFIP describe un conjunto bidimensional S como el punto fijo del operador de Hutchinson:

Donde, H es un conjunto operador a conjunto, y S el único conjunto que satisface H(S) = S. La idea es construir el SFIP donde el conjunto S es la imagen binaria. El conjunto S puede ser recuperado del SFIP mediante el método del punto fijo de Banach para asegurar que siempre será posible obtener a partir de H una imagen, y que ésta, será la misma (atractor del sistema): para cualquier conjunto inicial compacto no vacíoA0, la iteración que converge a S es: Ak₊₁ = H(Ak), Además el conjunto S es igual a sí mismo H(S) = S. Implicando que la unión de copias es:. Así, el SFIP es una representación fractal de S.

La representación SFIP puede ser extendida a una imagen en escala de grises, considerando la gráfica de la imagen como un subconjunto de R³. Así, para una imagen en escala de grises u(x,y), el conjunto , al igual que en el caso binario, se describe por un SFIP utilizando una serie de contracciones

 

Codificación

La representación fractal de imágenes, tiene una dificultad al elegir la serie de contracciones (ƒ1,...,ƒN ) como punto fijo que se aproxime a la imagen de entrada, y en cómo hacerlo de forma eficiente. Una solución corresponde a: 1) Particionar la imagen en bloques Ri de tamaño sx-s. 2) Para cada Ri, buscar en la imagen y encontrar un bloque Di de tamaño 2s*2s que sea similar a Ri. 3) Seleccionar las funciones de búsqueda tal que H(Di) = Ri para cada i. En el segundo paso, es importante encontrar un bloque similar en el que SFIP represente fielmente la imagen de entrada, necesitándose un número suficiente de bloques opción para Di. Limitando el numero de bloques de búsqueda en relación con el costo computacional y la rapidez. Situación que hace de la codificación fractal sea mucho más lenta que, por ejemplo, la representación de imágenes basadas en la transformada del coseno discreta y en ondula.

 

Características de la Compresión Fractal CF

Con la CF, la codificación a nivel computacional es lenta, debido a la búsqueda de similitudes propias. Sin embargo, la decodificación es bastante rápida. Esta desigualdad hace que la compresión fractal no sea usual para aplicaciones en tiempo real, pero cuando las imágenes o figuras son almacenadas por ejemplo en un disco compacto CD la compresión fractal llega a ser más competitiva. En tratamientos comunes la compresión fractal JPEG (relación 50:1) proporciona resultados similares a algoritmos basados en la transformada del coseno discreta. Para relaciones más elevadas de compresión, la CF puede ofrecer una calidad superior. En consecuencia, la eficiencia en la CF se incrementa con la complejidad de la imagen y la profundidad de color, en comparación con imágenes en escala de grises. Por otra parte la eficacia de un sistema de compresión se mide mediante la razón de compresión: relación = núm. de bytes imagen sin comprimir/núm. de bytes imagen comprimida.

 

Independencia de la resolución, escalado fractal e interpolación

Una característica propia de la compresión fractal es hacer que las imágenes se vuelven independientes de la resolución después de ser convertidas al código fractal. Debido a que el sistema de función iterada SFIP en el archivo comprimido se escala indefinidamente. Esta propiedad es conocida como escalado fractal. La independencia de la resolución de una imagen codificada en fractal puede utilizarse para incrementar la resolución de una imagen. Este proceso se conoce como interpolación fractal. Que lleva la imagen a un código a través de la compresión fractal, y posteriormente se descomprime a una resolución superior. El resultado es una imagen en la que los SFIP se han usado como interpolantes que devuelven buenos detalles geométricos, al comparar, con los métodos de interpolación tradicionales bilineal y bicúbica. Sin embargo, las imágenes naturales tienen características que reducen el argumento anterior debido a que éstas, no se obtienen como atractores del SFIP. La construcción de modelos fractales con ayuda del teorema del collage puede ser una solución al respecto.

Limitaciones y ventajas de la compresión fractal

•       Iterated Systems Inc., tiene los derechos de propiedad intelectual del método CF-SFIP. Sin embargo, la empresa brinda apoyo a través de Internet [7] para que esta tecnología sea utilizada como un estándar.

•        El escalado (zoom) sin píxelización (súper posición de píxeles) al ser independiente de la resolución se considera una forma especial de interpolación, debido a que no genera aparición de bloques ampliados.

•        La CF-SFIP utiliza mayor tiempo para su desarrollo asistido por computadora. No así la descompresión que es más rápida.

•        La reducción de espacio que proporciona la CF-SFIP es útil principalmente en transmisiones de imágenes a través de Internet en menor tiempo y costo.

Proceso de compresión y descompresión, simplificado:

La imagen se divide en cuatro celdas rango Rⁱ y al mismo tiempo una base de celdas de dominio Dⁱ, esta base debe ser muy grande por lo que se divide la celda rango Rⁱ en varios dominios de de distintos tamaños, para encontrar una Dⁱ que cubra a una celda rango dada.

Búsqueda y comparación: (a) Celdas rango y dominio a comparar. (b) Rotación y reflejo de Di en cualquiera de las ocho formas cubriendo 90º escogiendo el mejor movimiento. (c) Compresión de Di para que coincida con el tamaño de Ri. (d) se ajusta brillo y contraste mediante mínimos cuadrados para obtener valores óptimos.

RiDiCodificación: se escribe un renglón por cada celda rango cubierta. En cada renglón se escribe el índice quedtree (primeras seis columnas), el índice de rotación, el índice de celda dominio, el valor del contraste y el valor del brillo.Decodificado: Imagen base cuadrado negro, posteriormente por acción de las iteraciones van apareciendo atractores, que por el teorema del collage aumentarán el parecido con la imagen inicial.

El proceso de descompresión comprende iterar (repetir) un número suficiente de veces todas las transformaciones afines almacenadas sobre las regiones de rango hasta llegar a un conjunto invariante, el atractor, que es una buena aproximación de la imagen original (al tratarse de una compresión con pérdidas, nunca será una réplica pixel a pixel del original) pero es altamente representativa. (píxel = Superficie homogénea más pequeña de las que componen una imagen, se define por su brillo y color).

 

Bibliografía de referencia:

1. De Guzmán, O.M., et-al, 1993 Estructuras fractales, Ed. Labor, Madrid - España,        [ Links ]

2. PDF Compresión fractal 2014 http://es.wikipedia.org/wiki/Compresi%C3%B3n%20fractal?oldid=79577684,        [ Links ]

3. Lamas, R.J., Fernández, G. M., Compresión de fractales, ventajas y desventajas sabia.tic.udc.es/gc/.../trabajos/../compresion%20fractal/trabajo.html. Consulta: 23/10/14,        [ Links ]

4.  Kolman, B., David, R., 2006, books google. com bo. Álgebra lineal, Introducción a los fractales. Consulta: 23/10/14.        [ Links ]

5.  Pérez, B. S., 2006, PDF, Compresión fractal de imágenes, Facultad de Ciencias UNAM, México,        [ Links ]

6.  Smooth fractal interpolation Departamento de Matemáticas, Universidad de Zaragoza, Campus Plaza de San Francisco, Zaragoza - España.        [ Links ]

7. https://www.crunchbase.com/organization/iterated-systems-inc.        [ Links ]